गणितातील महत्वाची सूत्रे (भाग 2)

_____________

___________

वर्तुळ –

1. त्रिज्या(R)- वर्तुळाच्या केंद्रबिंदूतून निघून परिघाला जाऊन मिळणार्‍या रेषाखंडाला वर्तुळाची त्रिज्या म्हणतात.
2. वर्तुळाच्या व्यास (D) – केंद्रबिंदूतून निघून जाणार्‍या व वर्तुळाच्या परिघावरील दोन बिंदुना जोडणार्याह रेषाखंडास वर्तुळाचा व्यास म्हणतात.
3. वर्तुळाचा व्यास हा त्या वर्तुळाचा त्रिज्येचा (R च्या) दुप्पट असतो.
4. जीवा – वर्तुळाच्या परिघावरील कोणत्याही दोन बिंदूंना जोडणार्‍या रेषाखंडाला वर्तुळाची जीवा म्हणतात.
5. व्यास म्हणजे वर्तुळाची सर्वात मोठी जीवा होय.
6. वर्तुळाचा व्यास हा त्रिजेच्या दुप्पट व परीघाच्या 7/12 पट असतो.
7. वर्तुळाचा परीघ हा त्रिजेच्या 44/7 पट व व्यासाच्या 22/7 पट असतो.
8. वर्तुळाचा परीघ व व्यासातील फरक = 22/7 D-D = 15/7 D
9. अर्धवर्तुळाची परिमिती = 11/7 D+D (D=व्यास) किंवा D = वर्तुळाचा व्यास, त्रिज्या (r) × 36/7
10. अर्धवर्तुळाची त्रिज्या = परिमिती × 7/36
11. वर्तुळाचे क्षेत्रफळ = π × (त्रिज्या)2 = πr2 (π=22/7 अथवा 3.14)
12. वर्तुळाची त्रिज्या = √क्षेत्रफळ×7/22   
13. वर्तुळाची त्रिज्या = (परीघ-व्यास) × 7/30
14. अर्धवर्तुळाचे क्षेत्रफळ = π×r2/2 किंवा 11/7 × r2
15. अर्धवर्तुळाची त्रिज्या = √(अर्धवर्तुळाचे ×7/11) किंवा परिमिती × 7/36
16. दोन वर्तुळांच्या त्रिज्यांचे गुणोत्तर = त्या वर्तुळांच्या परिघांचे गुणोत्तर.
17. दोन वर्तुळांच्या क्षेत्रफळांचे गुणोत्तर हे त्या वर्तुळांच्या त्रिज्यांच्या गुणोत्तराच्या किंवा त्या वर्तुळांच्या परिघांच्या गुणोत्तराच्या वर्गाच्या पटीत असते. वर्तुळाची त्रिज्या दुप्पट केल्यास क्षेत्रफळ चौपट येते.

वर्तुळाचे क्षेत्रफळ व परीघ –

घनफळ –

1. इष्टीकचितीचे घनफळ = लांबी × रुंदी × उंची = (l×b×h)
2. काटकोनी चितीचे घनफळ = पायाचे क्षेत्रफळ × उंची
3. गोलाचे घनफळ = 4/3 π×r3 (r=त्रिज्या)
4. गोलाचे पृष्ठफळ = 4π×r2     
5. घनचितीचे घनफळ = (बाजू)3= (l)3
6. घनचितीची बाजू = ∛घनफळ
7. घनाची बाजू दुप्पट केल्यास घनफळ 8 पट, बाजू चौपट केल्यास घनफळ पटीत वाढत जाते, म्हणजेच 64 पट होते आणि ते बाजूच्या पटीत कमी अथवा वाढत जाते.
8. घनाचे पृष्ठफळ = 6 (बाजू)2
9. वृत्तचितीचे (दंडगोलाचे) घनफळ = π×r2×h
10. वृत्तचितीची उंची (h) = (घनफळ/22)/7×r2 = घनफळ×7/22×r2
11. वृत्तचितीचे त्रिज्या (r) = (√घनफळ/22)/7×r2 = √घनफळ×(7/22)/h

इतर भौमितिक सूत्रे –

1. समांतर भूज चौकोनाचे क्षेत्रफळ = पाया×उंची
2. समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ = 1/2×कर्णाचा गुणाकार
3. सुसम षटकोनाचे क्षेत्रफळ = (3√3)/2×(बाजू)2
4. वर्तुळ पाकळीचे क्षेत्रफळ = वर्तुळ कंसाची लांबी × r/2 किंवा θ/360×πr2
5. वर्तुळ कंसाची लांबी (I) = θ/180×πr
6. घनाकृतीच्या सर्व पृष्ठांचे क्षेत्रफळ = 6×(बाजू)2
7. दंडगोलाच्या वक्रपृष्ठाचे क्षेत्रफळ = 2×πrh
8. अर्धगोलाच्या वर्कपृष्ठाचे क्षेत्रफळ = 3πr2
9. अर्धगोलाचे घनफळ = 2/3πr3
10. त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = √(s(s-a)(s-b)(s-c) )
11. शंकूचे घनफळ = 1/3 πr3h  
12. समभुज त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = √3/4×(बाजू)2
13. दंडगोलाचे एकूण पृष्ठफळ = 2πr(r+h)
14. अर्धगोलाचे एकूण पृष्ठफळ = 2πr2
15. (S = 1/2 (a+b+c) = अर्ध परिमिती)  
16. वक्रपृष्ठ = πrl
17. शंकूचे एकूण पृष्ठफळ = πr2 + π r (r+l) r= त्रिज्या, l= वर्तुळ कंसाची लांबी

बहुभुजाकृती –

1. n बाजू असलेल्या बहुभुजाकृतीच्या सर्व आंतरकोनांच्या मापांची बेरीज (2n-4) काटकोन असते, म्हणजेच 180(n-2)0 किंवा [90×(2n-4)]0 असते.
2. सुसम बहुभुजाकृतीचे सर्व कोन एकरूप असतात व सर्व बाजू एकरूप असतात.
3. बहुभुजाकृतीच्या बाह्य कोनांच्या मापांची 3600 म्हणजेच 4 काटकोन असते.
4. n बाजू असलेल्या सुसम बहुभुजाकृतीच्या प्रत्येक बहयकोनाचे माप हे 3600/n असते.
5. सुसम बहुभुजाकृतीच्या बाजूंची संख्या = 3600/बाहयकोनाचे माप
6. बहुभुजाकृतीच्या कर्णाची एकूण संख्या = n(n-3)/2

उदा. सुसम षटकोनाचे एकूण कर्ण = 6(6-3)/2 = 6×3/2 = 9

 

तास, मिनिटे, सेकंद यांचे दशांश अपूर्णांकांत रूपांतर –

1. 1 तास = 60 मिनिटे     
2. 0.1 तास = 6 मिनिटे   
3. 0.01 तास = 0.6 मिनिटे
4. 1 तास = 3600 सेकंद     
5. 0.01 तास = 36 सेकंद   
6. 1 मिनिट = 60 सेकंद     
7. 0.1 मिनिट = 6 सेकंद
8. 1 दिवस = 24 तास

              = 24 × 60

              =1440 मिनिटे  

              = 1440 × 60

              = 86400 सेकंद

 

घडयाळाच्या काटयांतील अंशात्मक अंतर –

1. घड्याळातील लगतच्या दोन अंकांतील अंशात्मक अंतर 300 असते.
2. दर 1 मिनिटाला मिनिट काटा 60 ने पुढे सरकतो.
3. दर 1 मिनिटाला तास काटा (1/2)0 पुढे सरकतो. म्हणजेच 15 मिनिटात तास काटा (7.5)0 ने पुढे सरकतो.
4. तास काटा व मिनिट काटा यांच्या वेगतील फरक = 6 –(1/0)0 = 5(1/2) = (11/2)0 म्हणजेच मिनिटकाट्यास 10 भरून काढण्यास (2/11) मिनिटे लागतात.

 दशमान परिमाणे –

विविध परिमाणांत एकमेकांचे रूपांतर करताना खालील तक्ता लक्षात ठेवा.

1. 100 कि.ग्रॅ. = 1 क्विंटल
2. 10 क्विंटल = 1 टन     
3. 1 टन = 1000 कि.ग्रॅ.
4. 1000 घनसेंमी = 1 लिटर 
5. 1 क्युसेक=1000घन लि.   
6. 12 वस्तू = 1 डझन     
7. 12 डझन = 1 ग्रोस        
8. 24 कागद = 1 दस्ता
9. 20 दस्ते = 1 रीम    
10. 1 रीम = 480 कागद.

विविध परिमाणे व त्यांचा परस्पर संबंध –

अ) अंतर –

1. 1 इंच = 25.4 मि.मि. = 2.54 से.मी.
2. 1 से.मी. = 0.394 इंच
3. 1 फुट = 30.5 सेमी.  
4. 1 मी = 3.25 फुट
5. 1 यार्ड = 0.194 मी.
              
6. 1 मी = 1.09 यार्ड

ब) क्षेत्रफळ –    

1. 1 स्व्के. इंच = 6.45 सेमी 2
2. 1 सेमी 2 = 0.155 इंच 2
3. 1 एकर = 0.405 हेक्टर
4. 1 हेक्टर = 2.47 एकर = 100 आर/गुंठे
5. 1 स्व्के. मैल = 2.59 कि.मी. 2
6. 1 एकर फुट = 1230 मी. 3 = 1.23 मैल
7. 1 कि.मी. 2 = 0.386 स्व्के.मैल
8. 1 गॅलन = 4.55 लिटर

क) शक्ती –    

1. 1 एच.पी. = 0.746 किलो वॅट
2. 1 किलो वॅट = 1.34 एच.पी.
3. ड) घनफळ –    1(इंच) 3 = 16.4 सेमी. 2
4. 1 (सेमी) 3 = 0.610 (इंच) 3
5. क्युबिक फुट (1 फुट) 3 = 0.283 मी. 3
6. 1 मी 3 = 35 फुट 3
7. 1 यार्ड 3 = 0.765 मी. 3

इ) वजन –    

1. 1 ग्रॅम = 0.0353 औंस (Oz) 0
2. 1 पौंड (lb) = 454 ग्रॅम
3. 1 कि.ग्रॅ. = 2.0 पौंड (lb)

वय व संख्या –

1. दोन संख्यांपैकी मोठी संख्या = (दोन संख्यांची बेरीज + दोन संख्यातील फरक) ÷ 2
2. लहान संख्या = (दोन संख्यांची बेरीज – दोन संख्यांतील फरक) ÷ 2
3. वय वाढले तरी दिलेल्या दोघांच्या वयातील फरक तेवढाच राहतो.

दिनदर्शिका –

• एकाच वारी येणारे वर्षातील महत्वाचे दिवस
• महाराष्ट्र दिन, गांधी जयंती आणि नाताळ हे दिवस एकाच वारी येतात.
• टिळक पुण्यतिथी, स्वातंत्र्यदिन, शिक्षक दिन, बाल दिन हे दिवस एकाच वारी येतात.

नाणी –

1. एकूण नाणी = एकूण रक्कम × 100 / दिलेल्या नाण्यांच्या पैशांची बेरीज
2. एकूण नोटा = पुडक्यातील शेवटच्या नोटचा क्रमांक – पहिल्या नोटेचा क्रमांक + 1

पदावली –

• पदावली सोडविताना कंस, चे, भागाकार, गुणाकार, बेरीज, वजाबाकी (÷, ×, +, -)
• किंवा BODMAS हा क्रम ठेवावा.

 

गणितातील महत्वाची सूत्रे (भाग 1)

____________________________________

सरासरी :-

1) N संख्यांची सरासरी = दिलेल्या संख्यांची बेरीज / n, n = एकूण संख्या

2) क्रमश: संख्यांची सरासरी ही मधली संख्या असते.

उदाहरणार्थ – 12, 13, [14], 15, 16  या संख्या मालेतील संख्यांची सरासरी = 14

संख्यामाला दिल्यावर ठरावीक संख्यांची (n) सरासरी काढण्यासाठी

n या क्रमश: संख्यांची सरासरी = (पहिली संख्या + शेवटची संख्या) / 2

उदा. 1) क्रमश: 1 ते 25 अंकांची सरासरी = 1+25/2 = 26/2 = 13

2) 1 ते 20 पर्यंतच्या सर्व विषम संख्यांची सरासरी =1+19/2 =20/2 =10

3) N या क्रमश:  संख्यांची बेरीज = (पहिली संख्या + शेवटची संख्या) x n/ 2

उदा. 1) 1 ते 100 अंकांची बेरीज = (1+100)x20/2 = 81×20/2 = 810

(31 ते 50 संख्यांमध्ये एकूण 20 संख्या येतात. यानुसार n = 20) 

         ___________________________________________________________

 सरळव्याज :-

• सरळव्याज (I) = P×R×N/100
• मुद्दल (P) = I×100/R×N
• व्याजदर (R) = I×100/P×N
• मुदत वर्षे (N) = I×100/P×R
• चक्रवाढव्याज  रास (A)= P×(1+R/100)n, n= मुदत वर्षे ___________________________________________________________

 नफा तोटा :-

• नफा = विक्री – खरेदी   
   
• विक्री = खरेदी + नफा     
• खरेदी = विक्री + तोटा
• तोटा = खरेदी – विक्री   
   
• विक्री = खरेदी – तोटा   
   
• खरेदी = विक्री – नफा
• शेकडा नफा = प्रत्यक्ष नफा × 100/ खरेदी
• शेकडा तोटा = प्रत्यक्ष नफा × 100/ खरेदी
• विक्रीची किंमत = खरेदीची किंमत × (100+ शेकडा नफा)/100
• विक्रीची किंमत = खरेदीची किंमत × (100 – शेकडा तोटा) / 100
• खरेदीची किंमत = (विक्रीची किंमत × 100) / (100 + शेकडा नफा)
• खरेदीची किंमत = (विक्रीची किंमत × 100) / (100 – शेकडा नफा)  ___________________________________________________________

 आयात, चौरस, त्रिकोण, कोन :-

• आयत –
  आयताची परिमिती = 2×(लांबी+रुंदी)   
      
• आयताचे क्षेत्रफळ = लांबी×रुंदी
• आयताची लांबी = (परिमिती ÷ 2) – रुंदी   
   
• आयताची रुंदी =(परिमिती÷2) – लांबी
• आयताची रुंदी दुप्पट व लांबी निमपट केल्यास क्षेत्रफळ तेवढेच राहते.
• आयताची लांबी व रुंदी दुप्पट केल्यास क्षेत्रफळ चौपट होते.
• चौरस –
• चौरसाची परिमिती= 4×बाजूची लांबी     
• चौरसाचे क्षेत्रफळ=(बाजू)2 किंवा (कर्ण)2/2
• चौरसाची बाजू दुप्पट केल्यास क्षेत्रफळ चौपट होते.
• दोन चौरसांच्या क्षेत्रफळांचे गुणोत्तर हे त्यांच्या बाजूंच्या मापांच्या वर्गाच्या पटीत असते.

   समभुज चौकोण –

• समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ     
• = कर्णाच्या लांबीचा गुणाकार/2
• समलंब चौकोण –
• समलंब चौकोनाचे क्षेत्रफळ = समांतर बाजूंच्या लांबीचा बेरीज×लंबांतर/2
• समलंब चौकोनाचे लंबांतर = क्षेत्रफळ×2/समांतर बाजूंची बेरीज
• समलंब चौकोनाच्या समांतर बाजूंची बेरीज = क्षेत्रफळ×2/लबांतर
• त्रिकोण –
• त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = पाया×उंची/2
• काटकोन त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ   
   
• = काटकोन करणार्‍या बाजूंचा गुणाकार/2
• पायथागोरस सिद्धांत –

• काटकोन त्रिकोणात (कर्ण)2 = (पाया)2+(उंची)2 ___________________________________________________________

 प्रमाण भागिदारी :-

• नफयांचे गुणोत्तर = भंडावलांचे गुणोत्तर × मुदतीचे गुणोत्तर
• भंडावलांचे गुणोत्तर = नफयांचे गुणोत्तर ÷ मुदतीचे गुणोत्तर
• मुदतीचे गुणोत्तर = नफयांचे गुणोत्तर ÷ भंडावलांचे गुणोत्तर ___________________________________________________________

 गाडीचा वेग – वेळ – अंतर :-

A) खांब ओलांडण्यास गाडीला लागणारा वेळ = गाडीची लांबी/ताशी वेग × 18/5

B) पूल ओलांडण्यास गाडीला लागणारा वेळ = गाडीची लांबी + पूलाची लांबी / ताशी वेग × 18/5

C) गाडीचा ताशी वेग  = कापवयाचे एकूण एकूण अंतर / लागणारा वेळ  × 18/5

D) गाडीची लांबी  = ताशी वेग × खांब ओलांडताना लागणारा वेळ × 5/18

E) गाडीची लांबी + पूलाची लांबी = ताशी वेग × पूल ओलांडताना लागणारा वेळ × 5/18

F) गाडीची ताशी वेग व लागणारा वेळ काढताना 18/5 ने गुण व अंतर काढताना 5/18 ने गुणा.

1 तास = 3600 सेकंद / 1 कि.मी. = 1000 मीटर  = 3600/1000 = 18/5

G) पाण्याचा प्रवाहाचा ताशी वेग = (नावेचा प्रवाहाच्या दिशेने ताशी वेग – प्रवाहाच्या विरुद्ध दिशेने ताशी वेग) ÷ 2

H) गाडीने कापावायचे एकूण अंतर – गाडीची लांबी = बोगध्याची लांबी 

I) भेटण्यास दुसर्‍या गाडीला लागणारा वेळ

= वेळेतील फरक × पहिल्या गाडीचा वेग / वेगातील फरक

लागणारा वेळ = एकूण अंतर / दोन गाड्यांच्या वेगांची बेरीज